“零”＝“０”が無くても「位取り」番号付けができる！
【プレスリリース】
2017年9月26日
布垣 一幾（ぬのがき かずき）
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“零”＝“０”が無くても「位取り」番号付けができる！
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現在、数を数える時の標準は「十進法」（「十進数」）ですね。これには、正の整数を表すのにも“零”＝“０”が必須です。コンピューターの中では、「2進数」や「16進数」も使われていますが、そこでも“０”は必須です。これらは皆、「Ｎ進法」（「Ｎ進数」）の一種です。ここでは、“０”を使わずに無限大まで番号付けができる「Ｎ達法」をご紹介します。
◆「Ｎ進法」は近代的「位取り」記数法の一種です。例えば、「十進法」で“２３５”と書くと、一番右の桁は“１の位”で、“５”は１×５＝５を意味し、右から２番目の桁は“十の位”で、“３”は十×３＝30を、右から３番目の桁は“百の位”で、“２”は百×２＝200を意味します。
「Ｎ進法」では、正の整数を表す（物を数える）のに、{ 0, 1, 2, ,,, ,(N-1) } のＮ種類の「記数記号」（いわゆる“数字”）が使われます。空（から）の位を表すために“０”が必須であり、また“Ｎ”を表す“数字”は有りません。Ｎの値に依らずにＮ＝“10”というふうに２桁で表されます。
◆これに対し、筆者が見つけた「Ｎ達法」は、“０”を使わない「位取り」記数法であり、{ 1, 2, ,,, ,Ｎ } のＮ種類の「記数記号」を用いて全ての正の整数を表す（無数の物を数える）ことができます。また、Ｎ＝“Ｎ”と１桁で表されます。「２達法」ではＮ＝“２”であり、また「十達法」ではＮ＝“ｄ”（十を意味する“deca”の頭文字）と表します。
いくつかの例を挙げます。
十進法：1, 2,… 9, 10, 11, 12,… 19, 20, 21,… 50,… 90, 91,… 99, 100, 101,…
十達法：1, 2,… 9, d, 21, 22,… 29, 2d, 31,… 5d,… 9d, d1,… d9, dd, 211,…
ここで、「十達法」では、“Ｎ＝十”は“d”で“１桁”、“Ｎの2乗”は“dd”と“２桁”で表されます。さらに“Ｎのｎ乗”は“ｎ桁”で表すことができます。
「Ｎ達法」では、小さい数から数えていくと、その桁の中でＮに「達する」のです。
「Ｎ進法」では、Ｎまで来ると桁が「進む」（１つ上の桁の数字が増える）のです。
これらを全て３桁に揃えると、
十進法：001, 002,… 009, 010, 011, 012,… 019, 020, 021,…
十達法：111, 112,… 119, 11d, 121, 122,… 129, 12d, 131,…
十進法：050,… 090, 091,… 099, 100, 101,… 110, 111, 112,…
十達法：15d,… 19d, 1d1,… 1d9, 1dd, 211,… 21d, 221, 222,…
となります。
「十進法」では、左端の“0”は有っても無くても同じで、
「十達法」では、左端の“1”は有っても無くても同じなのです。
◆さらに、４桁の場合として、西暦を考えます。
十進法：0001, 0002,… 0099, 0100, 0101,… 0900, 0901,… 0999, 1000, 1001,…
十達法：1111, 1112,… 11d9, 11dd, 1211,… 19dd, 1d11,… 1dd9, 1ddd, 2111,…
十進法：1999, 2000, 2001, 2002,… 2010, 2011,… 2017,… 2020, 2021,…
十達法：2dd9, 2ddd, 3111, 3112,… 311d, 3121,… 3127,… 312d, 3131,…
となります。ここで「十達法」の表記は次の様な意味を持ちます。
例えば、「十進法」で“2017年”は、「十達法」では“3127年”ですが、これは
“第３千年紀”の“第１世紀”の“第２十年紀”の“第７年”という意味を持つのです。
これから、「Ｎ達法」は、存在するものに番号付けをするのに有効だと言えます。存在するものに番号付けをするのに“０”は必ずしも要らないのです。
これに対して「Ｎ進法」は、或る“原点”＝“０”からの距離を測るのに有効なのです。
また、「世紀」の表し方を見てみます。
十進法：01世紀＝0001,…0100. 10世紀＝0901,…1000. 21世紀＝2001,…3000.
十達法：11世紀＝1111,…11dd. 1d世紀＝1d11,…1ddd. 31世紀＝3111,…3ddd.
となり、「十達法」では、西暦４桁の内、左の２桁は世紀の数字に常に一致しています。
ここでも「十達法」が番号付けに有効であることが判ります。
◆以上、「Ｎ達法」による正の整数表記（番号付け）についてその主な性質を紹介しましたが、これは「Ｎ分岐演算子記数法」と名付けた新しい近代的位取り記数法（「Ｎ進法」の１つの拡張）の結果の一部を示したものです。「Ｎ分岐演算子記数法」の詳細は、以下の書籍で解説しています（演算子と言っても“加減乗”しか出てきません）ので、興味のある方は是非ご購読下さい。
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お問い合せ先
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〒618-0024 大阪府三島郡島本町若山台２-２-２７-１０１
電話：075-962-4458
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